送快递怎么用运筹学整数规划创造收益

今天的主人公是一个失业后送快递的

从收派件、路线、资源管理等实际场景出发，拆解可应用的具体场景及建模思路

区域划分

问题：你负责 5 个小区，每个小区每天收件量不同（A 区 10 件，B 区 8 件，C 区 15 件，D 区 6 件，E 区 12 件），电动车最多装 30 件，如何规划每天优先收哪些小区，使总收件量最大？

整数规划模型：

设 x_i=1（收小区 i），0（不收），i=A-E

目标：Max Z=10x_A+8x_B+15x_C+6x_D+12x_E

约束：10x_A+8x_B+15x_C+6x_D+12x_E ≤30（容量约束）

价值：线性规划可能算出 “收 C 区 15 件 + E 区 12 件 + A 区 0.3 件”（不可行），整数规划直接选 C（15）+E（12）+B（8）→超 35 件，需调整为 C+E+D（15+12+6=33，仍超），最终选 C+E（27 件）或 C+A+B（33 件），取最大可行解。

路线优化与包裹分配

典型场景：某天需送 20 个包裹，分布在 15 个地址，电动车最多装 15 件，求 “最少行驶距离 + 最少折返” 的路线。

整数规划关键要素：

变量 1：x_ij=1（从地址 i 到地址 j），0（不经过）—— 表示路线连接；

变量 2：y_i = 包裹 i 分配到的 “配送批次”（整数，如第 1 车、第 2 车）；

约束：每车包裹数≤15，总行驶距离 =Σx_ij× 距离 (i,j)，目标 Min 总距离。

人力、时间与工具调度

场景：双 11 期间，你每天需送 300 件，自己最多送 200 件，雇临时工每天 200 元，可送 100 件，雇多少天最划算？

整数变量：x = 雇佣天数（整数≥0）

目标：Min 200x

约束：200+100x ≥300 → x≥1，解 x=1 天，成本 200 元，若允许 x=0.5 天（线性规划），但现实中只能雇整天数。

异常处理与成本控制

包裹破损赔偿策略

问题：每月平均有 5 个包裹可能破损，赔偿金额 50-200 元不等，你想预留一笔钱，以 90% 概率覆盖赔偿，最少留多少？

整数规划思路：将历史赔偿金额设为整数变量（如 50,100,150,200），用概率约束模型，求最小预留金额（类似 “应急储备金整数优化”）

然而，在实际业务中，我们常常会遇到需要精确满足的等式约束场景，例如 "电动车必须恰好装满 30 件" 或 "必须雇佣整数天临时工以恰好完成配送任务"。这时，传统的整数规划模型可能无法直接求解，需要引入大 M 法和两阶段法来处理这些复杂约束。下面我们将从具体业务场景出发，详细介绍这两种方法的应用。

场景描述​

在区域划分问题中，我们之前考虑的是电动车容量不超过 30 件的情况。但在实际操作中，可能会遇到这样的情况：为了最大化利用物流资源或满足特定运输要求，需要电动车恰好装满 30 件。这时，原来的不等式约束10x_A+8x_B+15x_C+6x_D+12x_E ≤30就需要改为等式约束10x_A+8x_B+15x_C+6x_D+12x_E =30。

如果直接使用之前的整数规划模型，将不等式约束改为等式约束，可能会面临以下问题：​

可能没有可行解：例如，当所有小区的收件量无法精确凑成 30 件时，模型将无解。​

求解困难：等式约束在整数规划中更难处理，传统的求解方法可能无法找到合适的整数解。

大 M 法的引入与应用​

为了处理这种精确容量约束，我们可以引入大 M 法。大 M 法的核心思想是在目标函数中引入一个极大的惩罚系数 M，迫使人工变量为 0，从而保证等式约束的严格满足。

松弛变量 s：表示未装满的容量​

人工变量 a：用于构造等式约束

原来的目标函数变成

Z=量*区域 - M * a

原来的约束就变成量*区域+s-a=30

这里的 M 是一个非常大的正数，远大于目标函数中其他项的系数。其作用是对人工变量 a 进行惩罚：如果 a>0，目标函数值就会大幅减小，因此模型会尽量让 a=0，从而保证等式约束的严格满足。

以之前的小区收件量为例，A 区 10 件，B 区 8 件，C 区 15 件，D 区 6 件，E 区 12 件。我们需要找到一组 x_i 的取值，使得总收件量恰好为 30 件。​

可能的组合有：​

C 区 (15 件)+E 区 (12 件)+B 区 (8 件)=35 件（超过）​

C 区 (15 件)+E 区 (12 件)+D 区 (6 件)=33 件（超过）​

C 区 (15 件)+A 区 (10 件)+B 区 (8 件)=33 件（超过）​

A 区 (10 件)+B 区 (8 件)+E 区 (12 件)=30 件（正好）

哦，原来这里有一个正好凑成 30 件的组合！A 区、B 区和 E 区的收件量之和正好是 10+8+12=30 件。这说明在引入大 M 法后，模型能够找到这个精确满足等式约束的解。​

此时，目标函数值为 10×1+8×1+15×0+6×0+12×1 - M×0=30。如果存在其他组合，比如 C 区和 E 区，总收件量为 27 件，此时 a=30-27=3，目标函数值为 27 - 3M，显然远小于 30，因此模型会选择 A、B、E 区的组合。​

这表明大 M 法能够有效处理精确容量约束，找到满足等式条件的最优解。

临时工雇佣中的等式约束与两阶段法

在双 11 期间的临时工雇佣问题中，我们之前的模型是求解满足配送需求的最少雇佣天数，约束条件为200+100x ≥300，解得 x=1 天。但如果我们有更严格的要求，比如需要恰好完成 300 件的配送任务，不多也不少（可能出于成本精确核算的考虑），那么约束条件就变为200+100x =300。

对于这种等式约束问题，我们可以使用两阶段法来求解。两阶段法分为两个步骤：第一阶段构造辅助问题，求解是否存在可行解；第二阶段在可行解的基础上求解原问题的最优解。

阶段一：可行性分析​

目标函数：Min W=a（a 为人工变量）​

约束条件：​

配送量约束：200+100x+s−a=300

​变量非负约束：x,s,a≥0，且 x 为整数​

阶段一的目标是最小化人工变量 a，当 a=0 时，说明存在可行解。​

阶段二：最优解求解​

如果阶段一找到 a=0 的可行解，那么进入阶段二，求解原问题的最优解。​

目标函数：Min Z=200x

​约束条件：​

配送量约束：200+100x=300

​变量非负约束：x≥0，且 x 为整数

在阶段一中，我们求解，当 x=1 时，200+100×1=300，此时 s=0，a=0，满足约束条件，且 W=0，说明存在可行解。

进入阶段二，求解显然，x=1 是唯一解，此时 Z=200×1=200 元。

两阶段法的优势在于分步骤处理问题，首先确保可行性，再求最优解，逻辑清晰，避免了大 M 法中 M 值选择的困扰。

最后做一个总结：

大 M 法：

必须用电动车装 30 件快递，否则每少装 1 件罚款 500 元（M=500，远高于每件利润 10 元）。快递员会优先找刚好 30 件的组合（如 A+B+E 区），因为少装 1 件就亏 500 元，比少赚 10 元利润更划不来 —— 这就是大 M 法 “惩罚倒逼可行解” 的核心逻辑。

两阶段法：

双 11 需送 300 件，要求 “恰好由 1 个自己 + X 个临时工完成，且临时工必须整周雇佣”。先算是否存在整数 X 使 200+100X=300（X=1，可行），类似先确认 “是否有临时工能按周接单”。先算是否存在整数 X 使 200+100X=300（X=1，可行），类似先确认 “是否有临时工能按周接单”。