【杂谈】英语7选5引发的思考

本篇文章，我们不聊密码学蛤，因为我突然看到了一个应用的新题型，发现挺有意思的，这年头，高考英语都有新题型了，我当时是没做过，别害怕，本篇文章呢我们不来讲英语蛤，看到这个题目时候，我突然想到一个问题，就是这个题目，如果完全靠猜，得分的数学期望是多少，以及具体的分布列。这里，读者可以先想一想，这个期望具体是多少（为了后续好计算，我们后面按照一题一分来处理）？

题目图片来自于参考资料1

初次尝试

这里，作为一个开发，手算肯定是不可能的，直接写一个代码来列举一下所有的情况了，这里，代码思路也比较好处理，我们假设一个正确答案，然后枚举所有可能情况，然后看一下和正确答案差异的数量就可以了，这里代码写的通用一些，为了后续做准备，这里，考虑用Rust来实现吧。

use colored::*;use std::collections::HashMap;#[derive(Debug, Clone)]structPermutation {    choices: Vec<usize>,}impl Permutation {fnnew(choices: Vec<usize>) -> Self {Self { choices }    }fnmatches(&self, correct: &[usize]) -> usize {self.choices            .iter()            .zip(correct.iter())            .filter(|(a, b)| a == b)            .count()    }}structPermutationGenerator {    n: usize,    k: usize,}impl PermutationGenerator {fnnew(n: usize, k: usize) -> Self {Self { n, k }    }fngenerate(&self) -> Vec<Permutation> {letmut result = Vec::new();letmut current = Vec::new();letmut used = vec![false; self.n];self.generate_recursive(&mut result, &mut current, &mut used);        result    }fngenerate_recursive(        &self,        result: &mutVec<Permutation>,        current: &mutVec<usize>,        used: &mut [bool],    ) {if current.len() == self.k {            result.push(Permutation::new(current.clone()));return;        }for i in0..self.n {if !used[i] {                used[i] = true;                current.push(i + 1);self.generate_recursive(result, current, used);                current.pop();                used[i] = false;            }        }    }}structStatistics {    match_counts: HashMap<usize, usize>,    total: usize,    n: usize,    m: usize,}impl Statistics {fnnew(n: usize, m: usize) -> Self {Self {            match_counts: HashMap::new(),            total: 0,            n,            m,        }    }fnadd(&mutself, matches: usize) {        *self.match_counts.entry(matches).or_insert(0) += 1;self.total += 1;    }fndisplay(&self, correct_answer: &[usize]) {self.print_correct_answer(correct_answer);self.print_separator();self.print_statistics();self.print_separator();self.print_total();    }fnprint_correct_answer(&self, correct: &[usize]) {println!("n{} {:?}", "正确答案:".bright_green().bold(), correct);    }fnprint_separator(&self) {println!("{}", "─".repeat(60).bright_black());    }fnprint_statistics(&self) {println!("n{}", "匹配统计:".bright_yellow().bold());println!();for i in0..=self.m {let count = self.match_counts.get(&i).unwrap_or(&0);let percentage = (*count asf64 / self.total asf64) * 100.0;let bar_length = (percentage / 2.0) asusize;let bar = "█".repeat(bar_length);let label = format!("{} 个正确", i);let ratio = i asf64 / self.m asf64;let color_label = match ratio {                r if r < 0.2 => label.red(),                r if r < 0.4 => label.bright_red(),                r if r < 0.6 => label.yellow(),                r if r < 0.8 => label.bright_yellow(),                r if r < 1.0 => label.bright_green(),                _ => label.green().bold(),            };println!("  {} │ {:>6} 种 │ {:>6.2}% │ {}",                color_label,                count.to_string().bright_white().bold(),                percentage,                bar.bright_blue()            );        }    }fnprint_total(&self) {println!();println!("{} {}","总排列数:".bright_cyan().bold(),self.total.to_string().bright_white().bold()        );println!();let expected = self.calculate_expected_total();println!("{} P({}, {}) = {}","理论值:".bright_cyan(),self.n,self.m,            expected.to_string().bright_white()        );println!();    }fncalculate_expected_total(&self) -> usize {        (self.n - self.m + 1..=self.n).product()    }}fnmain() {let (n, m) = (7, 5);let correct_answer: Vec<usize> = (1..=m).collect();let generator = PermutationGenerator::new(n, m);let permutations = generator.generate();letmut stats = Statistics::new(n, m);for perm in &permutations {let matches = perm.matches(&correct_answer);        stats.add(matches);    }    stats.display(&correct_answer);}

可以看到，具体的结果如下。

我们可以计算一下具体的期望，最终结果如下，

结果非常的Amazing啊，居然蒙对的期望不到1，这样这个问题其实就解决了，但是发现一个非常有趣的现象，就是，如果我只选择一个选项，比如全选A，那么我得分的期望也是。这个就非常好计算了，因为7个里面一定有5个是正确的，但是这个现象是巧合吗？如果从个里面随机选择个，那么正确的个数的数学期望以及分布列是多少呢？

进一步探讨，简化模型

我们先考虑一种特殊的情况，也就是的时候，这应该是比较好讨论的部分，这里我们先来观察。

只有一个选项的情况

这一种情况，就相当的好处理了，因为，就一个，那么这里的数学期望是1，这没啥好说的。

有2个选项的情况

这一种情况，也非常简单，要么全对，要么全错。

这里，的期望也比较好计算，可以看到具体是

有3个选项的情况

这里，同样的方式，我们来看一下具体的数学期望

结果非常的Amazing啊，这里期望都是1，同样的，我们可以看一下有4个选项的情况

有4个选项的情况

可以计算得到，他的期望也是1，这里不相信的读者，可以自行计算一下，这里不列式子了。

猜想的推导

这里，我们是不是可以猜测对于所有的，这里的数学期望都是1呢？或者我们换一种角度来思考一下，这里对于每一个位置i，他被分配到正确的位置的概率都是，从这个角度来看，这里的期望确实是1，没毛病，也就是

接下来，我们来推导一下，分布列，这里需要用到一点点排列组合的知识，也就是错排公式[2]，

我们知道了错排问题的公式，来计算分布列就简单多了，我们可以把选择分成2个步骤，也就是乘法原理。

首先选择k个正确位置的排列，这里具体的排列数量为

那么剩余的就是全部排错的数量，具体的数量为

总的排列数量是，因此我们可以得到概率公式，

这里k是正确题目的数量。通过上述的讨论，我们非常惊奇的可以得到一个组合恒等式，

哎，对，没用的知识增加了。好了，有了这个一个推导的结论，我们可以来看一下，最原始的题目了，也就是n个里面选m个情况。

真实情况

这里，对于期望，实际上也是非常好计算的，也就是正确的选项的概率是，所以期望是。我们来看一下每一种情况的概率吧，多水一点字数。这里，我们需要用到另外一个组合学的知识，那就是容斥原理[3]，这里公式自己看参考资料吧，不粘贴出来了。

我们还是沿用之前的推导思路，这里恰好有k个空位正确，也就是固定k个空位正确，那么其余个空位全部错误，这里对于正确空位的选择有

个方式。

接下来，我们需要考虑剩余的个空位，这里不能直接用错排了，我们需要用容斥原理来思考，就是假设有s个空位是正确的，那么我们只需要用全排列减去正确的就可以了，也就是

然后，我们综合一下，就可以得到对应的概率

然后观察一下，如果，恭喜你，成功推导出了经典的错排公式，也就是

好了，没用的知识，再次的增加了呢。

总结

这里，我们通过一个有趣的英语题出发，得到了一个非常有趣的现象，那就是，你如果纯靠猜，实际上你的正确的个数是不到一个的，除非你是天命之人，哈哈，而且这个对于n选n来说，这个的期望值固定是1个，这也就是说，而且你还有很大的概率是一个不对的，如果求稳的话，可以直接全选一样的，大数定律对于个体无效哦，当然，玩归玩，闹归闹，如果有高中生看到这篇文章，你们就放弃猜七选五吧，与其寄希望于运气，不如依靠实实在在的技巧，认真学习，认真备考，好了，快乐的时光过得特别快，又到了说再见的时候了，咱们下次再见~